伞齿轮传动是自定心卡盘的主要传动方式之一，对伞齿轮进行齿形优化可有效提高卡盘的传动精度。文中在描述了自定心卡盘伞齿轮的设计及修形理论的基础上，对伞齿轮进行了三维实体设计，通过有限元分析和齿形优化，最终达到了提高自定心卡盘传动精度的目的。

　　卡盘是机床上常用的附件，应用于车床、磨床、铣床及回转工作台上，自定心卡盘传动机构是伞齿轮传动。自定心卡盘中伞齿轮与盘丝齿轮的传动误差直接影响其精度，对伞齿轮的齿形进行优化是提高其精度的有效方法。本文论述卡盘伞齿轮的设计理论及修形理论，通过对伞齿轮的三维设计、有限元分析和齿形优化，最终达到了提高卡盘传动精度的目的。

　　1 自定心卡盘伞齿轮的设计及修形理论

　　自定心卡盘伞齿轮的设计：自定心卡盘的伞齿轮设计，要求齿轮传动不应存在干涉现象。伞齿轮的齿形比较特殊，为减少加工误差，使用成形铣刀进行仿形加工。根据齿轮齿条啮合原理，通过几何作图的方法，得到相互啮合齿轮(即盘丝齿轮与伞齿轮)的齿形构成图。在齿形构成图的基础上，绘制轴向剖面，如图1所示。图1中：半径R_P为AA剖面上盘丝齿轮节圆半径；r_S为BB剖面上盘丝齿轮节圆半径。

　　自定心卡盘伞齿轮的修形原理：理论上，当主动轮和从动轮的基节相等时，齿轮传动的瞬时传动比是一个固定值。但实际中，由于各种误差的影响，啮合齿轮的基节不能完全相等。因此，对齿轮进行修形是有必要的。实际应用中，齿廓修形是齿轮修形最常用的方法。齿廓修形就是为了优化齿形，减少齿轮啮合中的干涉，使齿轮运转趋于平稳。现采用设计过程中的有限元分析来减少加工过程中的反复实验，既缩短了设计加工周期，又节约了成本。

　　齿廓修形量：在理想状态下，即不计微小变形量，齿廓修形量的计算公式为：

　　δ_u=W_i /c_i ;(1)

　　W_i=F_i/b。 (2)

　　式中：δ_u为齿廓弹性变形量，mm；W_i为单位齿宽载荷，N/mm；F_i为齿轮切向力，N；b为齿宽，mm；c_i为齿轮啮合刚度，N/(mm·μm)。

　　修形曲线应是平滑过渡的连续曲线，曲线修形可保证齿轮的平稳运转。

　　2 卡盘伞齿轮的模型

　　三维实体建模： 本文以K11315A型自定心卡盘为例，根据上述设计方法得到了盘丝齿轮和伞齿轮的基本尺寸。盘丝齿轮的材料为40Cr，基本尺寸为：AA剖面上盘丝齿轮节圆直径D_P= 258 mm, BB剖面上盘丝齿轮节圆直径d_S=193.5 mm，盘丝齿轮齿数Z_P=90，AA剖面上盘丝齿轮节圆半径R_P=129 mm，BB剖面上盘丝齿轮节圆半径r_P=96.75 mm，盘丝齿轮外锥角φ_ep=82.7°，盘丝齿轮内锥角φ_ip=78.18°;伞齿轮的材料为 40Cr，基本尺寸为：伞齿轮齿数Z_S=9，伞齿轮节锥角φS= 5.7°，AA剖面上伞齿轮节圆半径R_S=12.9 mm，BB剖面上伞齿轮节圆半径r_S=9.675 mm，伞齿轮外锥角φ_es=9.27°，伞齿轮内锥角φ_is=7.3°;BB剖面上周节t=6.751 mm，AA剖面上周节T=9.001 mm，卡盘齿轮传动比i=10。利用三维软件，创建盘丝齿轮和伞齿轮的实体模型，分别如图2和图3 所示。

　　齿轮啮合的运动仿真及干涉检测：将盘丝齿轮和伞齿轮依据齿轮啮合的运动关系进行装配，装配模型如图4所示。然后，利用干涉检验功能，对装配模型进行检测，结果显示干涉体积为-0.02 mm3，如图5所示。

　　3 有限元分析

　　有限元动态仿真分析方法能真实反映齿轮的运动信息，是目前常见的齿轮优化方法。基于软件的有限元分析法的主要步骤为：1)对锥齿轮进行建模并装配成齿轮副，选择单元类型、弹性模量、泊松比、添加载荷(静载荷或动载荷)等参数，网格划分;2)求解;3)图形云显示和列表分析结果。

　　采用有限元动力学分析方法对主动齿轮齿向进行接触应力分析，齿轮齿宽应力理论曲线应为对称的平滑正弦曲线，通过曲线的平滑度和对称性分析齿轮齿向的修形量，经过反复的三维设计和有限元动力学析，最终达到最优的齿轮齿形。

　　网格划分： 将装配完成的模型导入有限元分析软件中，采用8个节点单元类型。材料属性设置：弹性模量E=2.08×1011 Pa，泊松比η=0.3，摩擦因数μ=0.1，密度ρ=7900 kg/m3。对盘丝齿轮和伞齿轮分别进行网格划分, 网格模型如图6所示。伞齿轮和盘丝齿轮的接触类型定义为面与面接触，即General STS通用类型。

　　齿形优化： 伞齿轮为主动件，盘丝齿轮为从动件。设置参数为：伞齿轮的转速ω=0.1 rad/s，对盘丝齿轮施加262.5 N·m的阻力矩，计算时间为6 s，计算步数为200。通过有限元求解，得到了伞齿轮齿宽的应力变化规律(即等效应力图)，如图7所示。根据图7等效应力的曲线规律，可以判断齿轮小端存在应力集中现象，需要对齿轮小端进行齿向修形。经过反复修，最终得到最优的伞齿轮齿宽等效应力图，如图8所示。如图9为最终得到的最优的伞齿轮齿形轮廓线。根据伞齿轮的理想轮廓线确定出铣刀的刀形，利用成形铣削的方法制造出伞齿轮，修形后伞齿轮产品如图10所示。

　　4 结论

　　本文依据齿轮齿条啮合原理，对伞齿轮和盘丝齿轮进行了设计计算。利用三维软件创建零件及装配模型，并对其进行干涉检测，应用有限元分析法对伞齿轮齿形进行优化，最终得到了伞齿轮和盘丝齿轮的精确模型。通过齿形优化，有效提高了自定心卡盘的传动精度。