采用建模和有限元仿真方法来计算数控强力刮齿加工中的切削力时，存在较为耗时且复杂的问题，提出了一种基于dexel离散几何建模的切削力预测方法。首先，构建了强力刮齿的运动学模型，并将其应用于dexel实体造型中；然后，提取了三维未变形切屑形状，并通过狄洛尼三角剖分得到了二维切屑横截面；接着，通过计算离散化刀刃上的切削速度确定了其有效的前角和倾角，并使用斜角切削模型进行了切削力预测；此外，采用部分工件建模和叠加估算了整个过程的切削力，以便提高仿真效率；最后，在NT5400DCG车铣床上对所提出的预测方法进行了实际的验证。研究结果表明：相比于现有方法，所提方法的计算效率和预测准确率均得到了提升，切削力预测均方根误差降低了约7N，准确率提升了约9.7%;该方法有利于预防刀刃的早期疲劳破坏，从而为圆 柱齿轮的高质量强力刮齿加工奠定基础。

　　不同于传统的滚齿和插齿加工，数控强力刮齿加工是一种高速通用齿轮加工方法，可以进行内齿轮、外齿轮、直齿轮或斜齿轮的加工，且加工时间较短。随着数控技术的不断进步，刀具寿命、振动和伺服同步等过去阻碍其推广的问题，在近几年逐渐被克服，使得强力刮齿加工技术开始受到齿轮加工行业的极大关注。

　　然而，由于数控强力刮齿加工过程中存在着的几何和运动学复杂性，给其分析建模和仿真带来了较大的挑战性。GUO E 等人对强力刮齿刀具的设计问题进行了研究，并提出了一种简化的合力仿真计算方法;TACHIKAWA T 等人将归一化切削力的谐波分量与过程切削速度相关联，提出了一种可避免结构振动的建模方法;为了处理几何学和运动学的复杂性，KLOCKE F 等人采用了一种平面交点的方法，来数值逼近每个时间步长的刀具工件啮合。

　　近期，TAPOGLOU N 等人使用基于 CAD 的仿真模型来计算强力刮齿中的未变形切屑和齿轮几何。虽然该方法在切削力预测的精度方面能够满足需求， 但是每次预测均需要重新校准切削系数，且该方法所需的计算量较大。

　　因此，笔者采用 dexel 离散几何建模方法，设计出一种新颖的强力刮齿切削力预测方法，构建圆柱齿轮强力刮齿的运动学模型，并将其应用于基于 dexel 的实体造型中，将二维切屑形状与斜角切削模型相结合，来预测每个时间步长的切削力; 为了提高其仿真效率，采用部分工件建模和叠加来估算整个过程的切削力;最后通过强力刮齿实验，以验证该预测方法的可行性和有效性。

　　一、强力刮齿运动学模型

　　以直齿圆柱齿轮为例，强力刮齿的运动学模型如图 1 所示。

　　图 1 中，刀具围绕机床坐标系( machine coordinate system，MCS) 的 x 轴以交叉轴角∑ 定向。当刀具沿工件的 z 轴方向以恒速v_f 轴向进给时，刀具和工件之间通过相对旋转，完成切削运动;在每一次加工过程中，刀具以指定的深度 d_c 径向定位到工件中。围绕 MCS 的 y 轴定义的倾角 ψ 也可以应用于刀具，用于齿形修整或提供额外的间隙。

　　由于刀具的旋转速度是基于刀具工件齿轮比而建立的，该齿轮比是齿轮齿数和刀具齿数的函数。

　　对于具有类似运动的斜齿轮而言，根据刀具的节圆半径和轴向进给速度，其所需的螺旋角会产生额外的旋转项，即:

　　式中: ω_c—刀具的转速；ω_g—工件的转速；N_g—齿轮齿数；N_c—刀具齿数；β_g—齿轮螺旋角；r_pc—刀具节圆半径；v_f—刀具沿工件 z 轴轴向进给的速率。

　　为了与刀具工件啮合计算所需的 dexel 模型兼容，有必要在工件坐标系( workpiece coordinate sys- tem，WCS) 中建立强力刮齿运动学模型。

　　由于刀具几何形状是在刀具坐标系( tool coordi- nate system，TCS) 中定义的，此处应用了齐次变换的乘积，包括单个旋转 R 和平移 T，如下所示:

　　式中：R_z，-θg—齿轮绕其 z 轴反向旋转 θ_g；R_z，θc—齿轮绕其 z 轴旋转 θ_c；T_g→c—MCS 中从工件到刀具的平移；T_c→racR_y，ψT_rac→c—刀具按照角度 ψ 的倾斜。

　　在工业实践中，通常将切削速度定义为 v_c≌ω_cr_pc。然而，实际切削速度的大小和方向会在刀刃上表现出明显的变化，从而导致其局部倾斜的接触条件不断变化。因此，需要精确求解切削速度矢量。

　　对于刮刀上的给定点 P，其位置为 r_P/c ( 相对于刀具) 和 r_P/g ( 相对于工件) ，可以使用速度矢量在 WCS 或 TCS 中找到真实切削速度，即:

　　式中：w_c—刀具的转速矢量；w_g—工件的转速矢量；v_f—刀具沿工件 z 轴轴向进给的速度矢量。

　　二、强力刮齿预测方法

　　未变形切屑形状预测

　　笔者采用基于 dexel 的实体造型系统 ( Module- Works) 对所设计强力刮齿运动学模型进行了实现。工件由平行线段阵列表示，这些线段的起点和终点描述了材料的外表面。

　　刀具形状用三角面网格来描述，刮刀的三角形网格表示及其切削形状如图 2 所示。

　　笔者通过定义刀具相对于工件的位置和方向( 姿势) ，以离散的时间步长执行切削;在当前工件的每个时间步长中，对扫描的切削体积进行布尔相减，生成更新的工件几何形状。

　　基于 WCS 的 dexel 强力刮齿仿真如图 3 所示。

　　从以 dexel 表示的 CWE 中提取二维切屑形状的方法，如图 4 所示。

　　图 4 中，三维未变形切屑形状的 dexel 表示用于构建二维切屑横截面;笔者通过连接平行 dexel 的端点来估计切屑三维边界，有效地在 dexel 数据的每个 xy、 xz 和 yz 平面周围创建轮廓;然后，轮廓与刮刀的平面或圆锥前刀面相交，产生切屑横截面的二维点云。

　　笔者采用狄洛尼三角剖分和 alpha shape 算法，得到最终的二维未变形切屑形状。alpha shape 算法的阈值是 ，其中：d—dexel 分辨率。

　　刀具刃口被离散为多个点( 称为节点) ，这些点是在半时间步长时，刀具姿势处定义的。然后，笔者将切屑形状的三角形与最近的节点关联，每个三角形的几何形状用于计算其关联节点的局部切屑面积 a；最后，在每个节点上应用斜切削力模型，以获得每个时间步长的切削力预测。

　　切削力计算

　　本文将二维切屑形状与斜角切削模型相结合，以预测每个时间步长的切削力。对于与切屑形状相关的每个节点，在切向 t、进给 f 和径向 r 方向上产生的力增量分量 F_t、F_f 和 F_r 分别可以表示为:

　　式中: K_tc，K_fc，K_rc，K_te，K_fe，K_re—通过试验确定的切削力系数。

　　切向 t、进给 f 和径向 r 方向的矢量必须在 TCS 中解析，以便正确定位式(4) 中它们对应的力分量。这是通过考虑每个节点的局部几何形状和切削运动学来实现的，具体遵循文献中详细描述的刨齿操作过程，该方法适用于强力刮齿。

　　用于刀刃的斜角切削模型如图 5 所示。

　　该过程考虑了刀具的整体前角 α_c、局部刀刃形状 ( P_i-1，P_i，P_i+1 ) 和每个节点处的切削速度矢量 vc，还计算了刀刃上任意点的有效局部前角 α_n 和倾角 i。

　　将计算出的切削力方向矢量与式(4) 中的力大小相结合，可获得每个节点的切削力矢量;合并来自当前时间步长的所有参与节点的力矢量，从而预测其瞬时总切削力。

　　通过叠加提高仿真效率

　　CWE 计算是仿真中计算量最大的任务。因此，为了提高仿真效率，本文提出只对部分工件进行建模，并通过叠加切削一个齿隙所需的力，来估算整个过程的切削力。

　　用于减少 CWE 计算时间的部分工件如图 6 所示。

　　通过部分工件仿真重建 y 轴切削力的方法如图 7 所示。

　　图 7(a) 中，切削该齿隙的 CWE 和力曲线预测计算，是在多个由齿轮旋转周期 t_g = 60 /( 2πω_g ) 隔开的刀刃行程中完成的。

　　图 7(b) 中，由于逐渐变化的啮合条件，本文采用连续力曲线之间样本到样本的线性映射，来捕获影响切削力的瞬态效应。

　　图 7(b) 对应图 7(a) 中缩放窗口，覆盖单个齿轮的旋转周期。该映射用于正确缩放和调节来自剩余 N_g-1 齿隙加工的期望作用力，刀刃的通过周期 t_p = 60 /( 2πω_cN_c) ；最后，通过叠加每个齿间隙加工时预测的各个力曲线，估算出图 7(c) 中 MCS 中的总力。

　　由于本文没有通过整个工件形状来预测切削力，而是采用部分工件仿真法，笔者将仿真时间进行有效缩短，可以大大提升其计算的效率。

　　三、实验与结果分析

　　在德马吉 NT5400DCG 车铣床上，笔者对所提的强力刮齿预测方法进行验证。

　　其中，切削力的测量是通过德国 SPIKE 无线传感刀具夹头来进行的。该夹头使用位于不同位置和方向的多个应变片进行应变分析，并融合传感器以产生轴向力、扭矩和弯矩数据;采样频率为 2.5kHz，刀刃的通过频率(1/tp ) 为 322.38 Hz。

　　该测量实验装置的实物图如图 8 所示。

　　该测量实验装置中，刀具为 AlCrN 涂层高速钢刮削刀，工件材料为 AISI4340 钢。

　　工件和刀具参数如表 1 所示。

　　验证试验中的加工条件如表 2 所示。

　　在仿真过程中，笔者利用 CutPro 加工仿真软件中适用于 AISI4340 的 Kienzle 切削力模型，并根据有效的局部前角 α_n 和倾角 i，计算出了每个切削节点的系数 K_tc、K_fc、K_rc。

　　笔者使用具有通带频率 f_p =1/t_p +1/t_g + 5 Hz 和阻带频率 f_s =1/t_p +1/t_g + 10 Hz 的切比雪夫低通滤波器，对 x 和 y 轴上 SPIKE 刀具夹头的数据进行了滤波，使用采样窗口大小为 10tp 的移动平均滤波器对 z 轴数据进行了滤波。

　　笔者将采用该方法所获得的预测结果与 TCS 中的测量结果进行了比较，其对比结果如图 9 所示。

　　从图 9 可以看出：笔者所提的强力刮齿预测方法 x、y 轴的切削力预测结果与测量结果几乎完全一致，z 轴上结果也差别较小，可以准确地预测切削力;该方法无需重新校准切削系数，简化了切削力预测的复杂度。

　　此外，在相同实验条件下，笔者将所提的强力刮齿预测方法与 TAPOGLOU 等人所提的基于 CAD 仿真模型的强力刮齿预测方法进行了对比。

　　两种方法的切削力预测性能对比如表 3 所示。

　　表 3 中，均方根( root mean square，RMS) 误差是以每个轴上的峰值切削力( x: 544.3 N;y: 443.5 N;z: 605.9 N) 进行归一化表示的结果。

　　从表 3 可以看出，相比与基于 CAD 仿真模型的预测方法，笔者所提预测方法的 RMS 误差平均降低了 7 N，切削力预测准确率提升了约 9.7% 。

　　四、结束语

　　在数控强力刮齿加工过程中，因采用建模和有限元仿真计算其切削力较为耗时、复杂，为了解决这一个问题，笔者基于 dexel 离散几何建模，提出了一种用于预测强力刮齿加工中切削力的新方法，并在切削试验中对该方法的使用效果进行了验证。

　　研究结果表明：

　　(1) 与现有方法相比，采用部分工件仿真结合叠加法，提升了计算效率;

　　(2) 在不重新校准切削系数的情况下，x、y 轴和 z 轴上的切削力预测结果与测量结果非常吻合;

　　(3) 切削力预测 RMS 误差平均降低了 7 N，即准确率提升了约 9.7% ;该结果为进一步预防刀刃的早期疲劳破坏，优化强力刮齿工艺参数提供了更加精确的理论依据。

　　然而，目前该方法还存在不能仿真工具/工件振动的局限性。因此，在后续的工作中，笔者将针对该问题开展进一步的研究，并测试不同工艺参数组合对其的影响。