01问题的提出

　　齿轮倒棱能有效避免毛刺损伤齿面， 并减小齿轮热处理时的应力集中。齿轮倒棱在一定程度上能降低齿轮啮合噪声， 提高齿轮传动精度， 延长齿轮使用寿命，是齿轮加工环节中的一道重要工序 。齿轮倒棱分为齿廓倒棱、 齿顶倒棱与齿向倒棱， 如图1所示。

　　传统的齿轮倒棱工艺是将棱边加工成45°左右的斜面， 但同时会产生新的棱边，无法完全消除棱边处的应力集中问题 。在高速重载的高可靠性传动要求场合，有弧面倒棱的要求。弧面倒棱是用圆面或其它二次曲面光滑连接啮合面、上下齿面与齿顶圆面，从而完全 消除齿轮的棱边， 可以最大限度减小热处理时的应力集中，在极端工况中应用广泛 。弧面倒棱同样分为齿顶弧面倒棱、 齿向弧面倒棱与齿廓弧面倒棱，其中齿廓弧面倒棱最复杂，且大多采用手工打磨的方式，生产效率低，加工质量差。可见，实现高效的齿廓弧面倒棱是迫切需求。

　　02齿廓弧面挤棱工艺

　　针对齿轮的不同位置，倒棱工艺也不相同。齿顶倒棱一般安排在齿轮毛坯加工阶段，采用车削工艺。齿向倒棱安排在滚齿或磨齿工艺中， 通过改变滚刀或砂轮齿根处的廓形加工得到。齿廓倒棱工艺相对复杂，针对不同的工况条件可以选择铣削、磨削、刨削、挤削等加工方式。以下针对齿廓倒棱工艺进行具体分析。

　　铣棱工艺：采用高速旋转的指状铣刀，沿着齿廓轨迹方向进行铣削，切除待加工棱边。铣棱工艺具有方法简单、刀具通用性强的优点，但加工效率低。此外， 为保持刀具强度，铣刀有最小半径的限制要求，导致加工小模数齿轮时在靠近齿根位置会发生干涉。

　　磨棱工艺：磨棱工艺分为片状砂轮磨与蜗杆砂轮磨。片状砂轮磨的原理与铣棱工艺相同，也是沿齿廓轨迹方向进行磨削，同样存在效率低、加工干涉问题。蜗杆砂轮磨与传统的磨齿工艺类似，磨棱砂轮的齿厚比磨齿砂轮的齿厚大，磨削时只加工端面，不作齿向进给，采用展成原理加工齿廓棱边，效率较高，但是磨棱形状难以控制 。

　　挤棱工艺：采用如图2所示盘状挤棱刀与待加工齿轮强制啮合，挤除齿轮棱边上的多余材料。这样去除材料的方法与传统切削相比，会产生大量飞边，且表面粗糙度值较大。而另一方面，挤棱工艺采用展成原理，效率较高，且不易产生干涉，同时对于内齿轮、锥齿轮等同样适用。挤棱工艺最大的优点是可以改变挤棱刀的廓形，控制挤棱形状，适用于加工复杂的倒棱形式。综合比较上述多种齿廓倒棱方法， 齿廓弧面倒棱最适合采用挤棱工艺加工， 挤棱工艺的关键是求解挤棱刀廓形。

　　03挤棱刀廓形设计

　　将挤棱刀廓形看作倒棱后齿轮的共轭齿形， 求解这一共轭齿形需要先对齿廓弧面倒棱进行建模， 确定倒棱后齿面方程的解析式， 再将解析式及法向量代入啮合方程，同时进行坐标变换。

　　齿廓弧面倒棱建模：建立倒棱坐标系，如图3所示。倒棱坐标系以齿廓 渐开线法线方向为X轴，切线方向为Y轴，竖直方向为Z轴，则X-Z平面组成齿廓渐开线的法平面。在法平面内，齿廓弧面倒棱可看作由无数条圆弧组成，圆弧的起点、终点分别与上端面、齿面相切。X-Y平面是齿轮的端面， 在每一端面上， 倒棱齿廓又可看作渐开线齿廓沿法线方向的偏移，则倒棱后的齿面(倒棱面)与倒棱前的齿面(渐开面)的关系为：

　　式中：r_c 为倒棱面的矢量方程;r_i为渐开面的矢量方程;L为偏移向量，其大小是倒棱面与原始齿面的水平距离，方向是渐开面的法线方向;N_i为渐开面的水平面法向量。就圆柱斜齿轮而言，齿面是与竖直面成一渐变角度的螺旋渐开面，该角度用β_t表示：

　　式中：β为齿轮螺旋角;R_pitch为分度圆半径;R_t为齿轮任意一点的半径。在倒棱坐标系的X-Z平面内，齿廓弧面倒棱的廓形如图4所示。

　　图4中R为圆弧半径;x₀与z₀分别为圆弧起点与终点的位置，(x₀，-R)为圆心坐标。以左齿面为例，由几何关系可得：

　　圆弧上任意一点的坐标(x，z)为：

　　式中：α为圆弧的自变量。则L可看作α的函数L(α)，为：

　　将 L(α)与螺旋渐开面方程[x_i y_i z_i]T 、渐开面水平面法向量[N_Xi N_Yi 0]^T 代入式(1)，可得到左齿面的倒棱面关于参数α与θ的方程：

　　式中：θ₁为渐开线的起始展角;θ₂为渐开线的终止展角;θ与ε为螺旋渐开面方程的参数，且ε为关于α的函数。定义螺旋参数 k=tanβ/R_pitcn，则Z轴坐标z_c=ε/k，同时z_c=Rsinα-R，解得：ε=k(Rsin α-R) (7)

　　右齿面的齿廓弧面倒棱同理，由几何关系得：

　　圆弧上任意一点的坐标(x，z)为：

　　L(α)为：

　　将L(α)与螺旋渐开面方程[x_i y_i z_i]^T 、渐开面水平面法向量[N_Xi N_Yi 0]^T 代入式(1)，可得到右齿面的倒棱面关于参数 α 与θ的方程：

　　式中：γ为分度圆上左右齿面之间的转角。根据式(6)、式(11)，可在MATLAB软件中建立齿廓弧面倒棱模型 ，如图5所示。

　　挤棱刀廓形计算：求解挤棱刀廓形时采用齿廓法线法 。挤棱刀与齿轮的啮合关系相当于两个直齿外齿轮的平行轴传动， 建立齿轮与刀具坐标系， 如图6所示。

　　设 S₁-X₁Y₁为与齿轮固连的齿轮坐标系 ，S₂ -X₂Y₂ 为与挤棱刀固连的刀具坐标系，S_p-X_pY_p与 S_f-X_f Y_f 为固定的辅助坐标系，ρ₁、ρ₂分别为齿轮与刀具的节圆半径，ф₁、ф₂分别为某一瞬时齿轮与刀具转过的角度，则中心距E=ρ₁+ρ₂，传动比n=ф₂/ф₁。令 m=1+n，则 ф₁+ф₂=ф₁+nф₁=mф₁。挤棱刀的齐次坐标矩阵r₂ 可表示为：

　　式中：r₁为倒棱面的齐次坐标矩阵;T₂₁ 为 S₁-X₁Y₁ 到 S₂-X₂Y₂ 的坐标变换矩阵;T_2p 为 S_p-X_pY_p 到 S₂-X_2Y2 的坐标变换矩阵;T_pf 为 S_f-X_f Y_f 到 S_p-X_pY_p 的坐标变换矩阵;T_f1为 S₁-X₁Y₁ 到 S_f -X_f Y_f 的坐标变换矩阵。根据坐标变换式 ，有：

　　计算转角 ф₁ 与 ф₂ 时， 需要借助齿轮啮合原理方程：

　　式中：坐标系中的齿廓法向量;为坐标系中刀具对齿轮的相对运动速度。

　　法向量经坐标变换后有：

　　式中：坐标系中的齿廓法向量;M₂₁为法向量的坐标变换矩阵。

　　根据式(6)、式(11)，可以求得左右倒棱面的法向量 ：

　　式中：i、j、k依次为X轴、Y轴、Z轴的单位矢量。

　　相对速度可看作坐标系中倒棱面对时间的导数：

　　式中：ω 为角速度。将式(18)、式(20)代入式(17)，求解方程即可得到ф₁，再将ф₁、ф₂=nф₁代入式(16)，求解T₂₁，并代入式(12)， 最终求得挤棱刀廓形。在MATLAB软件中绘制挤棱刀廓形， 如图7所示。

　　将计算得到的挤棱刀廓形导入三维绘图软件，生成曲面特征，同时结合毛刺刮盘、刀体与刀架的连接等结构设计，最终得到弧面挤棱刀，如图8所示。加工时挤棱刀与齿轮相啮合的工作面如图9所示， 需要说明的是， 笔者只针对挤棱刀工作面的廓形进行设计，并不涉及变位距离、刀具后角、刀具根隙等。

　　齿廓弧面倒棱可以实现齿面与端面的光滑过渡，笔者提出了挤棱刀加工齿廓弧面倒棱的方法，通过齿轮啮合原理，计算并设计出挤棱刀工作区域的廓形，为下一步进行完整的挤棱刀设计打下了基础。设计出完整的挤棱刀，可以在一定程度上解决当前齿廓弧面倒棱仍靠手工打磨的问题，提高加工效率与倒棱质量，降低企业的生产成本。