圆柱斜齿齿轮在成形磨齿齿向修形加工过程中，会产生齿面扭曲，通过调整砂轮或优化多轴附加运动可以补偿齿面扭曲，但齿面精度难以达到使用要求。

　　据此，提出了一种基于齿向修形曲线反向补偿齿面扭曲的方法，利用实际修形曲线构造的虚拟齿面下的砂轮廓形反求修形齿面，以齿面扭曲评价指标为依据，分析得到补偿后的最优砂轮廓形。

　　最后，以一斜齿轮鼓形修形为例利用VERICUT进行仿真分析，并根据实际齿面与理论齿面间的偏差量，计算齿面扭曲量。结果表明，基于反向补偿思想补偿齿面扭曲，可以有效消减齿面扭曲，提高齿轮齿向修形精度。

　　引 言

　　在齿轮生产过程中，齿向修形可以改善齿轮传动过程中载荷分布不均匀的现象，提高齿轮承载能力，HAO等采用有限元法分析了齿向修形对齿轮传动系统的影响，证明了齿向修形可以改善齿轮传动系统的动态特性;

　　LIU等利用三维接触有限元模型，验证了通过齿向修形可以有效改善部分载荷和应力集中现象。但斜齿轮齿向修形过程中存在的齿面扭曲导致修形后的斜齿轮齿面精度降低，与理论要求的修形齿面差异大。

　　目前，国内外学者对针对齿面扭曲消减进行了大量的研究，张鑫等联合蒙特卡洛法对修形前后的齿轮进行了接触线优化，通过有限元算法分析了齿面扭曲对传统误差、齿面接触应力的影响;

　　韩飞龙等通过分析齿面的啮合迹线分布规律，得到了齿面偏差与砂轮位置变化规律;

　　唐永忠等针对齿面误差、机床加工误差，提出了一种基于最小二乘法的五轴联动数控机床加工误差补偿方法;

　　李彦等提出了以砂轮安装角为变量的多目标接触线优化数学模型，采用贝叶斯BP神经网络求解，以求得改善齿面扭曲后的最优齿向修形结果;

　　孙小敏等对运动多项式系数对齿面精度的影响进行敏感性分析，简化了磨齿五轴运动多项式，为齿面误差补偿算法应用提供理论依据;

　　田晓青等提出了一种基于柔性电子齿轮箱多轴同步附加运动的齿面扭曲补偿方法; ZHANG等通过分析齿轮参数对齿面扭曲的影响，并利用正交实验验证了齿轮参数对齿面扭曲的影响，其中模数变化对齿面扭曲影响最大;

　　TIAN等针对齿面扭曲问题，提出了一种基于遗传算法的连续接触线评估方法对齿面扭曲进行拓扑修正;

　　ZHAO等利用三维测量技术，获取齿面扭曲偏差数据，并提出了一种基于正交多项式的齿面扭曲表达方法，并成功预测加工过程中的齿面扭曲程度。

　　目前，针对齿面扭曲消减方法主要是优化砂轮、增加机床附加运动量、优化修形曲线。具有代表性的格里森磨齿机就是采用反扭曲思想对齿面扭曲进行补偿，这种方法对于齿面扭曲消减的效果显著;

　　但目前国内对于利用上述思想反向补偿齿轮磨削产生的齿面扭曲误差的研究很少; 这种方法在国内具有一定的实用性和较高的创新性。

　　基于此，本文根据实际齿向修形曲线与理论修形齿面之间的关系，建立了虚拟齿面模型，提出一种基于齿向修形曲线构造虚拟齿面以反向补偿齿面扭曲的方法，研究结果将为进一步消减齿面扭曲提供了新的解决思路。

　　成形磨齿齿向修形齿面分析

　　成形磨齿坐标系建立：

　　五轴数控成形磨齿机一般主要包括X、Y、Z三个直线轴和A、C两个旋转轴。根据五轴联动的数控成形磨齿机，建立数控成形磨齿空间啮合坐标系如图1所示。

　　其中坐标系Og-XgYgZg和齿轮固联，坐标系Ow-XwYwZw分别与和砂轮固联。其中砂轮与齿轮之间的中心距为a，砂轮安装角(即Zg与Zw之间的夹角)为Σ。

　　图1 成形磨齿空间啮合坐标系

　　则根据齐次坐标变换原理，可以得到砂轮坐标系Ow-XwYwZw与齿轮坐标系Og-XgYgZg之间的变换关系为:

　　齿向修形建模：

　　磨齿加工过程中，齿向修形通常是采用齿端修形、鼓形修形以及螺旋角修形3种修形方式。本文以鼓形齿向修形为例，对斜齿轮齿向修形过程中产生的齿面扭曲进行分析研究。

　　图2为鼓形修形示意图，齿宽为b，鼓形修形量为δ。鼓形修形曲线采用抛物线型，记为H(z)。齿宽中部修形量最小，齿宽两端处修形量最大。

　　图2 鼓形修形示意图

　　齿向修形之后，端截面的齿廓位置将会发生改变，将修形后的廓形可以看作是标准的齿廓廓形绕分度圆圆心旋转一个附加转角γ之后得到的。如图3所示。

　　图3 修形曲线的叠加

　　附加转角γ与修形函数H(z)之间的关系为:

　　式中: r为分度圆半径，β为斜齿轮螺旋角。

　　则将该附加转角叠加进标准的螺旋运动后可以得到如下的理论齿向修形齿面方程:

　　式中: τ=u+σb+θ+γ，rb为基圆半径，p为螺旋参数，σb为齿轮基圆齿槽半角，u、θ为渐开线参数。

　　齿向修形齿面扭曲分析

　　在进行鼓形齿向修形时，理论上是要求齿面两端修形量对称分布且完全相等，但在修形斜齿轮时，因齿向不同截面的修形量不同和空间接触线的扭曲异变，会导致齿向修形齿面产生齿面扭曲现象。

　　以同一齿宽处齿顶圆的齿向修形量与齿根圆处的齿向修形量之间的偏差值来判断齿面扭曲的大小，记该值为齿面偏差量ec，作为齿面扭曲评价指标，如图4所示。

　　图4 齿面扭曲现象

　　图5为斜齿轮齿面展开平面图，图中的AB、CD、EF三条线为齿向修形过程中的齿轮与砂轮之间的接触线。轴截面AF上的齿面偏差量可以看作是接触线EF上的齿顶圆修形量与接触线AB上的齿根圆修形量之差。

　　图5 齿面展开平面

　　建立如图5中所示的坐标系XOZ，鼓形修形曲线为H(z)，记上图中AC=a1，CE=a2。

　　设上图中轴截面AF处横坐标为z=h，则图5中轴截面AF上的齿面偏差量ec的表达式为:

　　基于修形曲线的齿面扭曲反向补偿方法

　　利用齿面反扭曲思想，根据实际齿向修形曲线与理论齿向修形曲线之间的偏差值，设计一虚拟齿向修形曲面，并以k1、k2作为补偿量值。

　　以齿面偏差量ec最小为目标，以k1、k2为变量，利用动态惯性权重的微粒群优化算法求解最优的k1、k2。

　　齿向修形反向补偿分析流程图如图6所示。

　　图6 补偿流程图

　　反向补偿齿向修形建模：

　　对实际齿向修形曲线进行偏移(或旋转)，构造虚拟齿向修形曲面。图7为实际修形曲线与偏移后修形曲线。

　　图7 修形曲线偏移

　　图8为实际修形曲线与旋转后修形曲线。

　　图8 修行曲线旋转

　　则偏移(或旋转)后的不同齿高处的齿向修形曲线方程为:

　　L与渐开线齿廓上任意一点的半径ri的关系为:

　　α与渐开线齿廓上任意一点的半径ri的关系为:

　　式中: ri=rb/cos(arctanu)，βb为基圆螺旋角，ra为齿顶圆圆半径，rf为齿根圆半径，k1取值范围为[0,1]，k2取值范围为[0,0.5]。

　　则由实际修形曲线偏移(或旋转)后的修形曲面与理论齿向修形曲面之间的关系，可得构造的虚拟齿向修形齿面与理论修形齿面间的坐标变换关系为:

　　式中: ε=(H(z)-H1(z))/ri。

　　则联立式(8)与式(3)可得虚拟齿向修形齿面方程为:

　　反向补偿齿向修形砂轮廓形求解：

　　根据成形磨削时砂轮与齿轮的相对运动速度与齿面法向量垂直这一条件，即v·n=0，可以得到砂轮面上的接触条件式。

　　由式(9)可以求得虚拟齿向齿面上的法向量:

　　式中: r=x'gi+y'gj+z'gk。

　　由此可以推导出虚拟齿面与砂轮间的接触线条件式为:

　　上述条件式为超越方程，故采用牛顿迭代法对其进行求解，令u在值域内变化获得一系列的离散值，在带入式(11)求解对应的θ值，后将求得的(u,θ) 带入砂轮坐标系下的齿面方程可以得到该虚拟齿面下(即补偿后)的砂轮接触线。

　　将该接触线绕砂轮轴线回转即可得到补偿后砂轮回转面。将接触线投影到砂轮计算平面就可以得到补偿后的砂轮廓形。砂轮轴向截形数学表达式为:

　　基于补偿的砂轮廓形反求齿面：

　　图9为砂轮廓形曲线。

　　图9 砂轮廓形

　　如图9所示，在砂轮坐标系Ow-XwYwZw下建立如下砂轮回转面方程:

　　式中: R为砂轮截形上任意点的半径，φ为砂轮回转角度，f(R)为砂轮廓形方程式。

　　根据成形磨削时砂轮与齿轮的相对运动速度与砂轮面法向量垂直这一条件，即v·n1=0，可以得到齿面上的接触条件式。则其中n1可以由补偿后的砂轮面方程求偏导得到。

　　由此可以推导出补偿后的砂轮与齿面间的接触线条件式为:

　　式(14)亦为超越方程，采用同式(11)同样的求解方法，将求得的齿面接触线绕齿轮轴线做螺旋运动即可得到如下补偿后齿向修形齿面方程。

　　实例分析

　　本文选取齿轮及鼓形量参数如表1所示。

　　表1 齿轮参数

　　通过对补偿后的砂轮廓形导入VERICUT中进行仿真，并与理论齿向修形齿面进行比较。

　　图10为未补偿时实际修形与理论修形齿面对比图。

　　图10 实际修形与理论修形齿面对比图

　　修形曲线偏移：

　　图11为根据上述流程图7由实际齿向修形曲面偏移补偿后得到的砂轮廓形与理论砂轮廓形对比。

　　图11 偏移补偿砂轮廓形对比

　　图12为修形曲线偏移补偿后实际修形与理论修形齿面对比图。

　　图12 偏移补偿后实际修形与理论修形对比图

　　图13为补偿前后与理论齿面偏差距离对比图。

　　图13 补偿前后与理论齿面偏差距离对比图

　　从图13中可以看出补偿后齿面距离理论齿面的偏差距离明显减小。表2为补偿前齿向修形后实际曲面与理论修形曲面间的偏差值，从中可以得到在未进行补偿时，修形齿面与理论齿面间偏差值在[-2,2]mm之间，变化值为4mm。

　　通过对表2中数据的整理计算可以得到在未补偿时齿顶和齿根修形量差值最大为3.02mm。

　　表2 补偿前与理论齿面间偏差数据

　　从表3中可以得到，在进行补偿后，修形齿面与理论齿面间偏差距离在[-0.5,1.5]mm之间，变化值为2mm。

　　通过对表3数据的整理计算可以得到在未补偿时齿顶和齿根修形量差值最大为1.32mm。可以看出齿面扭曲明显减小，修形量偏差值减小56% 。

　　表3 补偿后与理论齿面间偏差数据

　　修形曲线旋转：

　　图14为根据上述流程图6由实际齿向修形曲面旋转补偿后得到的砂轮廓形与理论砂轮廓形对比。

　　图14 曲线旋转补偿砂轮廓形对比

　　图15为修形曲线旋转补偿后实际修形与理论修形齿面对比图。

　　图15旋转补偿后实际修形与理论修形对比

　　根据修形曲线旋转得到的虚拟齿向修形曲面，补偿后得到调整过的砂轮廓形。针对补偿后的砂轮廓形对修形齿面进行仿真，并与理论齿面进行比较，可以得到如表4中的数据，在进行补偿后，修形齿面与理论齿面间偏差距离在[-1.9,1.7]之间，变化值为3.6mm。图16为补偿前后与理论齿面偏差距离对比图。

　　图16 补偿前后与理论齿面偏差距离对比图

　　通过对表4数据的整理、计算可以得到在未补偿时齿顶和齿根修形量差值最大为2.3mm。可以看出齿面扭曲减小，修形量偏差值减小23.3% 。

　　表4 补偿后与理论齿面间偏差数据

　　仿真结果表明，通过旋转或者偏移实际齿向修形曲线构造虚拟齿向修形曲面，在反求修整后的砂轮廓形，都可以减小齿面扭曲误差。

　　其中偏移实际齿向修形曲线构造虚拟修形齿面，可以使得齿面扭曲减小56%，有效改善了成形磨削斜齿轮过程中的齿向修形扭曲误差，验证了文中提出方法的有效性。

　　磨齿加工试验验证

　　基于齿面扭曲反向补偿方法，并采用基于X、Z、C三轴径向极坐标法进行测量，来验证虚拟齿面补偿方法的实用性和准确性。成形磨齿齿向修形加工试验如图17所示。

　　图17 成形磨齿加工试验

　　实验所选取的齿轮及鼓形量参数如表1所示，通过以上齿面扭曲反向补偿方法，获得补偿前后的齿面扭曲偏差量ec，如表5所示。

　　由表5可知，齿面扭曲偏差量作为衡量齿面扭曲的指标，在该成形磨齿实验中，齿面扭曲明显减小，经补偿后，齿面扭曲减小了54%。

　　表5 补偿前后齿面扭曲偏差量测量结果

　　结 论

　　通过分析砂轮廓形和齿轮齿面之间的关系，提出了基于实际齿向修形曲线构造虚拟齿向修形齿面反向补偿齿面扭曲的方法，得到如下结论:

　　(1) 在数控成形磨齿齿向修形过程中，齿向修形曲面产生扭曲的原因为实际修形曲线的偏移，因此从实际修形曲线偏移角度出发，构造虚拟齿面，补偿齿面扭曲。

　　(2) 齿面扭曲的补偿实例表明，通过偏移实际齿向修形曲面构造虚拟齿向修形曲面，反求补偿后的砂轮廓形的补偿方法可以使得齿面扭曲减小54%。

　　综上所述，本文从齿面反扭曲思想出发反向补偿齿轮，并提出了一种全新的齿面扭曲消减方法，最终实现对齿面扭曲有效的消减。

　　研究结果表明相较于传统的齿面扭曲消减方法，此方法可以明显降低齿面扭曲量，并为后续齿面扭曲消减提供了一种实用、创新的思路。

　　参考文献：略

　　作者简介: 沈敏(1999—)，女，硕士研究生，研究方向为机械设计及其自动化。