圆柱齿轮在磨齿加工过程中，磨齿砂轮的齿形控制不正确容易出现渐开线齿廓起台和多磨齿顶或齿根现象。通过对圆柱齿轮渐开线的滚齿和磨齿齿形形成原理进行分析，给出了修整砂轮齿形关键尺寸的数学方程计算公式。

　　1 引 言

　　随着各种机械精度和功率的不断提高，对淬火圆柱齿轮精度要求也越来越高，适合加工高精度淬火圆柱齿轮的磨齿工艺迅速发展起来，其中蜗杆砂轮展成磨齿由于其效率高、适合批量加工被大量使用。但是在实际磨齿加工过程中，由于圆柱齿轮的齿顶或齿根部被蜗杆砂轮在磨削时多切或少切起台(见图 1)，造成齿轮报废的现象经常发生。为了在磨齿时完全消除此类现象，必须合理控制磨齿砂轮的齿形参数。本文根据磨前滚刀设计理论及磨齿的渐开线形成原理，给出了合理的磨齿蜗杆砂轮渐开线齿形计算公式。

　　2 磨齿蜗杆砂轮的齿形及计算

　　2.1 蜗杆砂轮的齿形构成

　　磨齿蜗杆砂轮加工圆柱齿轮的原理同滚齿加工相似，同为渐开线的展成加工，它的齿形(见图 2)由砂轮节距 p、节圆齿厚 Sn、节圆压力角 α、齿顶高 ha 和齿根高 hf 构成。在圆柱齿轮磨齿时，磨齿蜗杆砂轮地修整一般有两种方式：一种是分体式修整法，即用单片金刚滚轮修整磨齿蜗杆砂轮齿形压力角 α、齿厚 Sn 和齿根高 hf ，用单独的金刚笔修整砂轮的齿顶，控制砂轮的齿顶高 ha(或齿全高 H)，这种修整方式在国内磨齿机上比较常用;另一种整体式修整法，即把金刚滚轮和金刚笔装配成为一体，一次完成砂轮齿形的压力角 α、齿厚 Sn、齿顶高 ha、齿根高 hf 修形，这种方式目前在国外机床上比较常用。这两种方式修整砂轮的节距 p 均由磨齿机床的挂轮或软件设置，由机床本身传动精度保证。在加工过程中合理控制这 5 个参数便能正确地控制蜗杆砂轮的齿形。

　　2.2 砂轮齿形各参数的计算

　　节距：p=π×mn

　　节圆齿厚：

　　压力角 α：与节圆压力角相同 α_n

　　砂轮的齿根高：hf=Ha+c*×mn

　　H_a 为齿轮齿顶高；c* 为径向间隙系数(一般取 0.25 ~ 0.35mm)；m_n 为齿轮模数;ζ 为齿轮变位系数；α_n 为齿轮分圆压力角。

　　砂轮的齿顶高：

　　齿轮产品图一般对齿形最低控制点为渐开线有效起始点(SAP)或渐开线有效检查起始点(SIC)，统称渐开线有效点见图 3(部分图纸只给出 SAP 点)。而滚齿滚刀设计时考虑到磨齿留余量和保产品图渐开线有效点，经常会对渐开线有效起始点增加超越量(超越点)。这样磨齿蜗杆砂轮的刀尖轨迹比渐开线有效点(SIC 或 SAP)高的话，就会形成台阶，造成最终产品渐开线长度不够，磨齿蜗杆砂轮的刀尖的轨迹在为渐开线超越点以下时就容易磨削掉部分齿根过渡圆弧或磨伤齿根圆。只要磨齿蜗杆砂轮刀尖高度控制到渐开线有效点(SIC 或 SAP)和渐开线超越点之间，就不会起台也不会磨削齿根。一般渐开线有效点(SIC 或 SAP)图纸已经给出，而渐开线超越点的计算有几种方法：

　　方法 1：用齿轮渐开线方程和滚齿刀尖圆角形成的延伸渐开线方程联合精确求多元超解方程组的交点，该点为渐开线的超越点，该方法比较繁琐，需要用计算机作图法或迭代法求解。

　　渐开线坐标方程(x，y)为：

　　其中：r_b 为齿轮基圆半径，mm；ψ 为渐开线展开角变量，rad；τ 为基圆齿厚半角，rad。

　　随着渐开线的展开角 ψ 变化，渐开线的坐标点也跟随变化。滚刀圆角展成延伸渐开线的坐标方程(x₁，y₁ )为：

其中 δ 和 θ 的关系为：

　　r 为齿轮分度圆半径，mm；r_p 为滚刀圆角半径，mm；a₁ 为滚刀节线到齿顶的高度，mm；B 为滚刀齿槽中心到齿顶圆角中心的距离，mm；θ 为角度变量。

　　θ 在刀具压力角 α 和 90°范围内变化，令两方程的坐标相等用迭代法可以求出渐开线的超越点半径 r_c。

　　方法 2：直接用滚刀图纸理论设计的渐开线超越点 r_c。

　　方法 3：用经验公式计算超越点 r_c：

　　ρ_c 为渐开线超越点的曲率半径；ρ_sic 为渐开线检查点(SIC 或 SAP)曲率半径；r₀ 为齿轮基圆半径。

　　方法 1 比较精确但计算复杂，对于要求十分精密的磨削可用该方法，计算的 r_c 为最大值。方法 2、方法 3 比较简单实用。求出 r_c 后砂轮齿顶高计算为

　　r_c 为渐开线超越点的半径；r_min 为渐开线检查点(SIC 或 SAP)半径；r_a 为砂轮齿顶高；r 分为齿轮分度圆半径。

　　因此砂轮齿顶高在 h_amin 和 h_amax 之间都能满足要求。

　　3 计算示例 

　　产品图纸要求：齿数 69，模数 4.1612mm，压力角 16°，齿顶圆 ф309.39mm，齿厚10.045mm，渐开线有效检查点 SICф309.39 刀具设计超越点 ф284.978，计算砂轮尺寸如下：

　　节距：p=13.073

　　砂轮节圆齿厚：S_n=3.028

　　砂轮压力角：α=16°

　　按方法 1 计算：砂轮齿顶高 r_c=142.47

　　h_amin=0.45，h_amax=1.09

　　按方法 2 计算：砂轮齿顶高 r_c=142.48

　　h_amin=0.45，h_amax=1.07

　　按方法 3 计算：砂轮齿顶高 r_c=142.78

　　砂轮的齿顶高为：

　　h_amin=0.45，h_amax=0.77

　　在实际批量加工中，我们用以上计算结果控制砂轮的齿形，效果良好。